HIMPUNAN

Posted on by

HIMPUNAN

JENIS-JENIS HIMPUNAN

  1. himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
  2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
  3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
  4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
    contohnya A= {b,c,d}
    B={d,c,b}
    A=B
  5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
    Contohnya A= {b,c,d}
    B={d,c,b}
    A jumlahnya sama dengan B
  6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
    contohnya:
    A = {1,3,5,7,9}
    himpunan semestanya berupa:
    S = {bilangan asli}
    S = {bilangan cacah}
    S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
  7. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
    contohnya
    B = {a,c,e}
    A = {a,b,c,d,e}
    jadi B bagian dari A.
  8. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
    Contohnya
    A = (a,b,c,d,e}
    maka a elemen A
  9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
    Contohnya
    A = {d,e,f}
    B = {g,h,i}
    maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
  10. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
    contohnya
    A = {a,b,c,d}
    e bukan anggota himpunan A.
  11. Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
    contoh
    K = {0,1,2,3,4,5}
  12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
    Contohnya
    D = {1,2,3,4,}
  13. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
    contohnya
    G = {2,4,6,8,10}
  14. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
    contohnya
    K = {1,3,5,7}
  15. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
    contohnya
    Y = {2,3,,5,7}
  16. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.
    Contohnya
    Y = {0^2,1^2,3^2)

BARISAN DAN DERET

Posted on by

BARISAN DAN DERET

  1. Barisan Aritmetika Definisi Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, … b. 2, 8, 14, 20, … Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, … Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, … +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, … +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

RUMUS SUKU KE-N BARISAN ARITMETIKA

Un = Suku ke-n b = beda = selisih 2 suku yang berdekatan = U n – U n-1 a = U 1 = Suku = bilangan pada urutan pertama

Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, …. Jawab: – 3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, …, 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, …, 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan U = 40. Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Deret Aritmatik Sn = U 1 + U 2 + U 3 + …+ U n b = beda = selisih 2 suku yang berdekatan = U n – U n-1 a = U 1 = Suku = bilangan pada urutan pertama Sn = Jumlah suku pertama sampai dengan suku ke-n = Jumlah n buah suku pertama

Contoh soal 3 Pada hari ke 15 seorang petani memetik mangga sebanyak 100 buah pada hari ke 7 sebanyak 172 buah. Jika jumlah mangga yang dipetik mengikuti barisan aritmatika banyak mangga yang dipetik selama 5 hari pertama adalah … A. 1040 B. 754 C. 540 D. 475 E. 226

Jawab Dik. U7 = 172 U15 = 100 Dit : S5 Un = a + (n-1)b U7 è a + 6b è= 172 U15  a + 14b = 100 -8b = 72 èb = -9 U7  a + 6.-9 = 172 a = 172 +54 = 226 S5 = =2,5(226-36) =2,5(190) =475

  1. BARISAN dan Deret Geometri Barisan bilangan yang mempunyai rasio (Pembanding) yang tetap antara dua suku yang berurutan dan dinotasikan dengan r Contoh 1,3,9,27,….. 1,2,4,8,….. 1,5,25,125,…..DLL

RUMUS SUKU KE-N BARISAN GEOMETRI

Un = Suku ke-n a = suku pertama r = rasi , perbandingan 2 suku yang berdekatan = U n / U n-1

CONTOH 1 Tentukan suku ke- 10 dari barisan geometri 1,3,9,27,….. Jawab : a = 1 r = 3 n= 10

Deret geometri BENTUK UMUM DERET GEOMETRI

r = rasio = perbandingan 2 suku yang berdekatan = U n / U n-1 a = U 1 = Suku = bilangan pada urutan pertama Un = Suku ke-n = bilangan pada urutan ke-n = a.r n-1 Sn = Jumlah suku pertama sampai dengan suku ke-n = Jumlah n buah suku pertama = U1 + U2 + U3 + …+ Un = S~ = Jumlah tak hingga deret geometri turun =

Contoh soal Kertas yang dibutuhkan Maher untuk menggambar setiap minggu 2 berjumlah 2 kali lipat dari minggu sebelumnya. Jika minggu pertama maher membutuhkan 20 kertas. Banyak kertas yang dipergunakan selama 6 minggu adalah … A. 620 B. 310 C. 256 D. 64 E. 20

Dik. U1 = a = 10 r = 2 Dit S 6 S 6 = a. r n -1 = 10. 2 5 – 1 = 10. 31 = 310 r -1 2 -1 Jumlah selama 6 minggu = 310 lembar

PELUANG

Posted on by

PELUANG

1. Aturan Perkalian

Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris, dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas. Banyak cara 3 orang dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari melalui uraian berikut.

Amati Gambar di atas!
a. Untuk ketua kelas (K)
Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu Algi (A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).
Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.
b. Untuk Sekretaris (S)
Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.
c. Untuk Bendahara (H)
Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.
Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah
3 × 2 × 1 = 6 cara.

Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati skema berikut.

Misalkan,
• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;
• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;
• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah
n = n1 × n2 × n3 … × nk.

Contoh:
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawab:
• Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.
• Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).
• Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara.

2. Faktorial
Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.
Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi,

Dengan penalaran yang sama
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Bilangan Bulat

Posted on by

BILANGAN BULAT

1. Pengertian Bilangan Bulat
Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, …. Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh?
Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, …. Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?
Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.
Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

2. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan
Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, … disebut bilangan bulat negatif.
Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Operasi Perkalian dan Pembagian Desimal

Posted on by

Operasi Perkalian dan Pembagian Desimal

Perkalian:

Tips : 1 . Hilangkan tanda koma.

2. Kalikan seperti biasa.

3. Kembalikan tanda koma (sesuai dengan jumlah koma pada soal)

contoh : 1,5 x 0,3 = …

15 x 3 = 45

1,5 ( satu angka di belakang koma ), 0,3 ( satu angka di belakang koma )

jumlahkan 1 + 1 = 2, maka hasil perkalian menjadi 0,45 (hitung 2 (dua) angka dari belakang)

 

Pembagian:

Tips : 1. Hilangkan tanda koma.

2. Bagi seperti biasa.

3. Kembalikan tanda koma (selisih jumlah koma soal)

contoh : 1,25 : 0,5 = …

125 : 5 = 25

1,25 ( dua angka di belakang koma ), 0,5 ( satu angka di belakang koma )

selisihkan 2 – 1 = 1, maka hasil perkalian menjadi 2,5 (hitung 1 (satu) angka dari belakang).

KPK

Posted on by

Mencari KPK Dua Bilangan dengan Cepat

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) bisa dicari dengan cara-cara sebagai berikut:

1. Menuliskan kelipatan dari bilangan yang akan dicari KPKnya.

Contoh: KPK dari 18 dan 24 adalah …

Jawab:

Kelipatan dari 18 adalah: 18, 36, 54, 72, 90, …

Faktor dari 24 adalah: 24, 48, 72, 96, …

Kelipatan yang bersekutu adalah 72. KPK adalah 72

2. Dengan menuliskan faktorisasi prima bilangan yang akan dicari KPKnya.

Dengan syarat:

  1. Tulis semua faktorisasi prima.
  2. Apabila ada bilangan prima yang bersekutu, ambil yang memiliki pangkat terbesar.

Dari contoh di atas, maka:

Faktorisasi prima dari 18 = 2 x 32

Faktorisasi prima dari 24 = 23 x 3

KPK = 23 x 32 = 8 x 9 = 72

 

  3. Dengan menggunakan tabel.

Dengan syarat,kalikan seluruh bilangan primanya.

Dari soal di atas:

  18 24
2←  9 1
2← 9 6
2← 9 3
3←  3 1
3← 1 1

Maka KPK = 23 x 32 = 72

 

  4. Ini cara tercepat, walaupun masih memiliki syarat.

Caranya adalah dengan mengalikan kedua bilangan yang dicari KPKnya, kemudian bagi dengan FPBnya

Dari soal di atas, maka FPB = 24 – 18 = 6

maka KPK = (18 x 24) / 6 = 72

Sekarang coba tentukan KPKnya (waktu 10 detik!)

  1. 12 dan 16
  2. 24 dan 32
  3. 20 dan 30
  4. 36 dan 48
  5. 30 dan 45

BANGUN DATAR

Posted on by

Bangun datar dalam matematika disebut bangun geometri.

Macam-macam bangun datar:

SEGITIGA

  • Segitiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh 3 buah garis saling bertemu dan membentuk 3 buah titik sudut.
  • Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆.
  • Jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰.

Jenis-jenis segitiga :

  1. Segitiga Sama Sisi
  • mempunyai 3 sisi sama panjang.
  • mempunyai 3 sudut sama besar yaitu 60⁰.
  • mempunyai 3 simetri lipat.
  • mempunyai 3 simetri putar.
  1. Segitiga Sama Kaki
  • mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang.
  • mempunyai 1 simetri lipat.
  • mempunyai 1 simetri putar.
  1. Segitiga Siku-Siku
  • mempunyai 2 sisi yang saling tegak lurus.
  • mempunyai 1 sisi miring.
  • salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu 90⁰.
  • tidak mempunyai simetri lipat dan putar.
  • untuk mencari panjang sisi miring digunakan rumus phytagoras :

a2   +   b2   =   c2

 a  :  sisi datar

b  :  sisi tegak

c  :  sisi miring

Rumus Keliling segitiga

 

Keliling  =  panjang sisi 1  +  panjang sisi 2 +  panjang sisi 3

Rumus Luas Segitiga

Luas =  alas x tinggi

          2

PERSEGI

Persegi adalah bangun datar yang dibatasi 4 sisi yang sama panjang.

Mempunyai 4 titik sudut.

Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.

Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang.

Mempunyai 4 simetri lipat.

Mempunyai 4 simetri putar.

Rumus Keliling Persegi

 

 

 

Keliling  =    4   x   sisi

 

 

Rumus Luas Persegi

 

 

Luas  =    sisi   x   sisi

 

 

 

PERSEGI PANJANG

  • Persegi panjang merupakan bangun datar yang mempunyai 4 sisi.
  • Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
  • Sisi-sisi persegi panjang saling tegak lurus
  • Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.
  • Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang
  • Mempunyai 2 simetri lipat.
  • Mempunyai 2 simetri putar

Rumus Keliling Persegi Panjang

 

 

 

Keliling  =       2   x   ( panjang   +   lebar )

 

 

 

Rumus Luas Persegi Panjang

Luas  =       panjang   x   lebar

JAJARAN GENJANG

  • Jajaran genjang merupakan bangun datar yang mempunyai 4 buah sisi.
  • Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
  • Dua sisi lainnya tidak saling tegak lurus.
  • Mempunyai 4 sudut, 2 sudut berpasangan dan berhadapan.
  • Sudut yang saling berdekatan besarnya 180⁰.
  • Mempunyai 2 diagonal yang tidak sama panjang.
  • Tidak mempunyai simetri lipat dan simetri putar.

Rumus Keliling Jajaran Genjang

 

 

 

Keliling  =       2   x   ( panjang   +   lebar )

 

 

 

Rumus Luas Jajaran Genjang

 

 

Luas  =       panjang   x   tinggi

 

 

BELAH KETUPAT

  • Belah ketupat merupakan bangun geometri yang dibatasi 4 sisi sama panjang.
  • Mempunyai 4 titik sudut.
  • Sudut yang berhadapan besarnya sama.
  • Sisinya tidak tegak lurus.
  • Mempunyai 2 diagonal yang berbeda panjangnya.
  • Mempunyai 2 simetri lipat.
  • Mempunyai 2 simeteri putar.

 

 

Rumus Keliling Belah Ketupat

 

 

Keliling  =    4   x   sisi

 

 

 

Rumus Luas Belah Ketupat

 

 

Luas =  ½ x diagonal 1 x diagonal 2

 

 

 

 

 

LAYANG-LAYANG

  • Layang-layang adalah bangun geometri berbentuk segiempat yang terbentuk dari dua segitiga sama kaki yang alasnya berhimpitan.
  • Mempunyai 4 sisi sepasang-sepasang yang sama panjang.
  • Mempunyai 4 buah sudut.
  • Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
  • Mempunyai 2 diagonal berbeda dan tegak lurus.
  • Mempunyai 1 simetri lipat.
  • Tidak mempunyai simetri putar

Rumus Keliling Layang-Layang

 

 

Keliling  =    2  x  ( sisi panjang  +  sisi pendek )

 

 

 

Rumus Luas Layang-Layang

 

 

 

Luas  =     diagonal 1    x   diagonal 2

                 2

 

 

 

TRAPESIUM

  • Trapesium adalah bangun segiempat dengan sepasang sisi berhadapan sejajar.
  • Tiap pasang sudut yang sisinya sejajar adalah 180⁰.
  • Jenis-jenis trapesium :
  1. Trapesium Sembarang             à  mempunyai sisi-sisi yang berbeda.
  2. Trapesium Siku-SIku             à  mempunyai sudut siku-siku.
  3. Trapesium Sama Kaki             à  mempunyai sepasang kaki sama panjang

Rumus Keliling Trapesium

 

 

 

Keliling =  jumlah keempat sisinya

 

 

 

Rumus Luas Trapesium

 

 

 

 

Luas  =   jumlah sisi sejajar   x   tinggi

          2

 

 

LINGKARAN

  • Lingkaran merupakan kurva tertutup sederhana beraturan.
  • Jumlah derajat lingkaran sebesar 360⁰.
  • Lingkaran mempunyai 1 titik pusat.
  • Mempunyai simetri lipat dan simetri putar yang jumlahnya tidak terhingga.
  • Istilah-istilah dalam lingkaran :
  1. Diameter lingkaran (d) yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran melalui titik pusat lingkaran.
  1. Jari-jari lingkaran (r) yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pada busur lingkaran dengan titik pusat lingkaran.
  1.  Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada busur lingkaran dan tidak melewati titik pusat lingkaran.
  1. Busur yaitu bagian lingkaran yang dibagi oleh tali busur.
  1. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari maupun busur lingkaran.
  1. Susut pusat yaitu sudut yang dibentuk oleh 2 buah jari-jari.

Rumus Hubungan Diameter (d) dan Jari-Jari (r)(r)

 

 

 

Diameter  (d)  =  2  x  jari-jari

 

Jari-jari  (r)  =  ½ diameter

 

 

Rumus Hubungan Busur, Juring, dan Sudut Pusat

 

 

 

Panjang Busur AB  =  besar sudut AOB  X  keliling lingkaran

360⁰

 

 

Rumus Keliling Lingkaran

 

 

Keliling =  π  x diameter

 

 

π  =  3,14 ( 22 )

                   7

 

Rumus Luas Lingkaran

 

 

Luas =  π   x   jari-jari  x  jari-jari

 

Luas   =   π  r2

 

π  =  3,14 ( 22 )

                   7